★梦想★ 2008-5-3 10:33
赌博、愛情、生活的獲勝機率(4)
4 我倆互不相干：獨立事件
前面所描述的定理，大多相當簡單而直覺。現在我們來看比較實際的狀況。現在介紹機率理論中最重要的假設之一：隨機程序大部份不具有記憶性（memoryless）。
若骰子擲出「2」，那是否會增加下次擲出「2」的機會呢？如果這是顆沒灌鉛的公平骰子，答案就是「否」。此時我們說擲骰子的程序無記憶性。骰子不會記得它剛顯示過「2」，因此下一次擲出「2」的機會還是不變，1/6。
當程序如擲骰子一般無記憶時，連續下來的事件就被稱為彼此獨立（independent of each other）。除此之外，因時間或空間而區隔的事件，也有彼此獨立的傾向。例如，麻州選舉的結果和塔斯馬尼亞的暴雨就彼此獨立。如果我們曉得今天塔斯馬尼亞下雨，並不會增加或降低某人當選麻州州長的機會。
對獨立事件而言，同時發生的機率等於個別事件機率的乘積。換句話說，將它們兩個機率相乘之後，就會得到兩事件同時發生的機率。
按照獨立事件的聯合發生定理，連擲兩次公平骰子都出現「4」的機率為兩次個別機率的乘積。由於出現「4」的機率每次都是1/6。因此連續擲出兩個「4」的機率為 1/6×1/6=1/36。36次連續擲兩次骰子的結果中，平均會出現一次兩顆骰子皆為「4」。
你將樂見上節所提的重要乘法定律（multiplication law），在經過一種修正後，即可擴大應用於非獨立的事件。我們必須將一事件的機率，乘上在第一個事件發生的情況下，第二個事件的條件機率（conditional probability）。呃？繼續讀下列的範例，一切就會豁然開朗。
對於相依事件（dependent event），同時發生的機率等於第一事件的機率與第一事件發生下第二事件的機率乘積。
例如，假設房間內有十人，五個男人與五個女人。隨機選擇兩人，都是女人的機率為何？
解法：我們將第一人為女人的機率（5/10），乘上第二人是女人的機率，不過這時剩下的九個人中，只有四個女人可選。因此，其機率為4/9。於是：5/10×4/9 = 20/90，也就是0.22。
這類從群體中抽樣的作法，稱為不歸還式抽樣法（sampling without replacement）。若為歸還式抽樣，也就是允許兩次選擇相同的女人，那麼機率就是1/2×1/2=1/4。
以我們到現在為止所討論的少許理論，即可發展出有趣的機率應用。
若擲兩顆骰子，兩顆骰子點數和為4的機率為何？
讓我們假定骰子一黑一白。
兩個骰子可能擲出的點數之一如下：
以上面的例子，我們看到白骰子顯示兩點，而黑骰子顯示五點。現在要建立兩顆骰子的機率空間，我們稍早曾為紙牌建立過。白色骰子能擲出怎樣的點數？機率的組合如下所示。
同樣的，黑骰子也能擲出六種點數，如下圖所示。
以簡單的邏輯，可得出一對骰子能擲出的6×6 = 36種組合。所有組合，即為兩顆骰子所有可能的機率空間。
現在檢視上面的空間，並計算兩顆骰子點數總和為4的出現次數。我們發現符合的點數組合為：（1，3）、（2，2）與（3，1）。所有36種可能組合中，有3種這樣的組合，其機率為3/36=0.083，也就是約8%。
若從一副52張徹底洗過的牌中抽出一張，這張牌花色為黑桃或「大牌」（人頭或A）的機率為何？
這裡我們使用聯集定律：抽到黑桃或大牌的機率，等於黑桃的機率加上大牌的機率，減去既為黑桃又為大牌的機率。也就是：1/4+16/52-4/52=0.48。將近50%。
二十一點
我們討論的所有機率空間之概念，是用來評估機率的重要工具（統計學家稱為事件抽樣空間），不過必須要找得出這種機率空間才有用。以賭博為例，通常都能找得出來。不過舉例來說，在二十一點（Blackjack）的賭局中，這種空間不見得能找出來。特別是賭場使用好幾副牌時，賭徒很難去追蹤哪些牌曾經出現而哪些尚未出現。聰明的賭徒必須試著「算」牌，或是大略計算還剩多少大牌或小牌，從計算中得到抽出的下一張牌，是否對自己有利的大概機率。這樣的估算能讓賭徒決定在賭局進行當中，是否要求再發一張牌（hit）。例如，假設我玩牌且觀察牌面結果一段時間，現在預估要抽的那疊牌中充滿小牌（有此結論是因為目前為止，觀察到許多大牌已發出，而出現的小牌很少）。再假設我手上拿到十二點。此時要求給牌，通常是比較有利的玩法，因為能增加點數到接近二十一點的勝點，相對抽到人頭而爆掉的機率偏低。